德州牌型概率

5 张牌组合的牌型概率

以下按从高到低的顺序列出牌型概率：

1. 皇家同花顺（Royal Flush）概率是 $1.54\times 10^{-6}$，约每649,739次有一次。
2. 同花顺（Straight Flush）概率是 $1.39\times 10^{-5}$，约每72,193次有一次
3. 四条（Four of a Kind）概率是 $2.40\times 10^{-4}$，约每4,165次有一次。
4. 葫芦（Full House）概率是 $1.44\times 10^{-3}$，约每694次有一次
5. 同花（Flush）概率是 $1.97\times 10^{-3}$，约每509次有一次。
6. 顺子（Straight）概率是 $3.92\times 10^{-3}$，约每255次有一次。
7. 三条（Three of a Kind）概率是 $9.14\times 10^{-3}$，约每109次有一次
8. 两对（Two Pair）概率是 $4.75\times 10^{-2}$，约每21次有一次。
9. 一对（One Pair）概率是 $0.358$，约每3次有一次。
10. 高牌（High Card）概率是 $0.578$，约每2次有一次。

各牌型的组合数与计算

皇家同花顺

皇家同花顺由同一花色的 A、K、Q、J、10 组成。一副扑克牌有四种花色，因此皇家同花顺有 4 种组合。

一副扑克牌有52张牌。从52张牌中抽取5张牌的组合数为 ( C(52, 5) )，其中 ( C(n, k) ) 表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。

皇家同花顺的概率为：

皇家同花顺的概率是 (1.54 \times 10^{-6})，约每649,739次有一次。

同花顺

同花顺由同一花色的五张连续牌组成。计算时排除皇家同花顺，后者属于同花顺的一种特殊情况。

每种花色有9种同花顺，例如 A-2-3-4-5、2-3-4-5-6、…、9-10-J-Q-K；共 (4 \times 9 = 36) 种。

同花顺的概率为：

同花顺的概率是 (1.39 \times 10^{-5})，约每72,193次有一次。

四条

四条由四张同一点数的牌和一张其他任意牌组成。一副扑克牌有13种点数，因此有13种四条；每种四条的第五张牌有48种选择，共 (13 \times 48 = 624) 种。

四条的概率为：

四条的概率是 (2.40 \times 10^{-4})，约每4,165次有一次。

葫芦

葫芦由三张同一点数的牌和两张另一点数的牌组成。三条的点数有13种，另一对的点数有12种，共 (13 \times 12 = 156) 种点数组合。

每种点数有4张牌，三条有 (C(4, 3) = 4) 种组合，两对有 (C(4, 2) = 6) 种组合，因此葫芦共有 (156 \times 4 \times 6 = 3744) 种组合。

葫芦的概率为：

葫芦的概率是 (1.44 \times 10^{-3})，约每694次有一次。

同花

同花由同一花色的五张牌组成。4种花色中，每种花色有 (C(13, 5) = 1287) 种组合。排除同花顺和皇家同花顺后，每种花色排除10种同花顺，共得到 (4 \times 1287 - 4 \times 10 = 5108) 种同花。

同花的概率为：

同花的概率是 (1.97 \times 10^{-3})，约每509次有一次。

顺子

顺子由五张连续的牌组成。一副扑克牌有10种顺子，例如 A-2-3-4-5、2-3-4-5-6、…、10-J-Q-K-A。每种顺子有4的5次方（1024）种花色组合。排除同花顺后，每种顺子有4种同花顺，共有 (10 \times 1024 - 4 \times 10 = 10,200) 种顺子。

顺子的概率为：

顺子的概率是 (3.92 \times 10^{-3})，约每255次有一次。

三条

三条由三张同一点数的牌和两张其他任意牌组成。13种点数中，每种三条的第四张牌有48种选择，第五张牌有44种选择，合计 (13 \times 48 \times 44 = 27,504) 种组合。排除葫芦和四条后：每种点数有 (C(4, 3) = 4) 种三条，(C(4, 4) = 1) 种四条，需要排除 (13 \times 4 \times 12 \times 6 + 13 \times 1 \times 48 = 3,744) 种组合。因此有 (27,504 - 3,744 = 23,760) 种三条。

三条的概率为：

三条的概率是 (9.14 \times 10^{-3})，约每109次有一次。

两对

两对由两张相同点数的牌、两张另一相同点数的牌和一张其他牌组成。13种点数中，可选的两对点数有 (C(13, 2) = 78) 种；第五张牌有44种选择，即 (78 \times 44 = 3432) 种。每种点数有4张牌，每一对有 (C(4, 2) = 6) 种组合，第五张牌有4种花色，因此两对共有 (78 \times 6 \times 6 \times 4 = 123,552) 种组合。

两对的概率为：

两对的概率是 (4.75 \times 10^{-2})，约每21次有一次。

一对

一对由两张相同点数的牌和三张其他任意牌组成。13种点数中，每种一对的第三、第四、第五张牌分别有48、44、40种选择，共 (13 \times 48 \times 44 \times 40 = 1,098,240) 种组合。排除两对、三条、葫芦和四条：每种点数有 (C(4, 2) = 6) 种一对，需要排除 (13 \times 6 \times 12 \times 6 \times 4 + 13 \times 4 \times 48 + 13 \times 4 \times 12 \times 6 + 13 \times 1 \times 48 = 123,552 + 29,952 + 14,976 + 624 = 169,104) 种组合。因此有 (1,098,240 - 169,104 = 929,136) 种一对。

一对的概率为：

一对的概率是 (0.358)，约每3次有一次。

高牌

高牌指不符合上述任何牌型的五张牌，其概率为：

高牌的概率是 (0.578)，约每2次有一次。

以上概率基于从一副52张牌中随机抽取5张牌的情况。在实际的德州扑克游戏中，玩家可以选择是否换牌，因此各牌型的实际概率可能不同。